Question

已知fx是偶函数,f〔x-2〕是奇函数,f〔1〕=2则f〔2013〕=

Answer 1

解：因为f(x)是偶函数
故f(x)= f(-x)
因为f(x-2)是奇函数
故f(x-2)=-f(-x-2) （1）
又f(x+2)=f(-x-2) （2）(因为f(x)是偶函数)
由（1）（2）有f(x-2)=-f(x+2)
所以f(x-4)=-f(x) （3）
在（3）中把x用x-4去代替得
f(x-8)=-f(x-4)=f(x)
所以f(x)是以8为周期的周期函数。
在（3）中取x=5则有f(5-4)=-f(5)即f(5)=-f(1)=-2
所以f〔2013〕=f(251*8+5)=f(5)=-2

Answer 2

解：因为f(x-2)是奇函数
故f(x-2)=-f(-x-2)
又f(x)是偶函数
故f(x)= f(-x)

因此f(x-2)=-f(-x-2)= -f(x+2)
得f(x)= -f(x-4)

所以f(2013)= -f(2009)=……=(-1)^503 f(1)= -f(1)= -2 (2013与1间间隔了503个4)

Answer 3

f(x-2)+f(-x-2)=0 得对称点（-2,0）
偶函数得对称轴y=0
周期为(2-0)*4=8(注意这不是最小正周期，只是周期)
2013/8余数是5
后面同下