Question

如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．

如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．
（1）证明△A′AD′≌△CC′B；
（2）若∠ACB=30°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．

Answer 1

证明1：已知矩形ABCD，所以其对边AD=BC
又因为△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′ 所以BC=A′D′ A'D‘平行于BC
又A'D‘平行于BC 所以角D’A‘C’=ACB 根据平行线内错角相等
因为A'C‘是AC平移构成，所以A'C‘=AC
则A'C’-AC‘=AC-AC‘ 可推得A’A=C‘C
根据三角形全等判定定理边角边法则 BC=A′D′ 角D’A‘C’=ACB A’A=C‘C
故证得△A′AD′≌△CC′B
证明2：当C’在AC的中点时 为菱形
因为∠ACB=30° BC‘为AC边上中点，可知BC'=1/2AC=AC'=AB
同理AD‘=1/2A’C‘=C’D‘=AC’ 故AD‘=D’C=AB=BC‘
又有上问证明可知，D’C平行于BC‘ AB平行于C'D’
可知四边形ABC′D′是菱形

Answer 2

解：（1）证明：∵四边形abcd是矩形，
△a′c′d′由△acd平移得到，
∴a′d′=ad=cb，aa′=cc′，a′d′∥ad∥bc．
∴∠d′a′c′=∠bca．
∴△a′ad′≌△cc′b．
（2）当点c′是线段ac的中点时，四边形abc′d′是菱形．
理由如下：
∵四边形abcd是矩形，△a′c′d′由△acd平移得到，
∴c′d′=cd=ab．
由（1）知ad′=c′b．
∴四边形abc′d′是平行四边形．
在rt△abc中，点c′是线段ac的中点，
∴bc′=
ac．
而∠acb=30°，
∴ab=
ac．
∴ab=bc′．
∴四边形abc′d′是菱形．