Question

请教线性代数一题！

设a1，a2，…，an是数域P中互不相同的数，b1，b2，…，bn是数域P中任一组数，证明，存在P上的唯一的多项式f(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c0,使得f(ai)=bi , i=1,2，…，n.

Answer 1

将ci视作未知量,则有方程组
cn-1a1^n-1 + cn-2a1^n-2 + ... + c1a1 +c0 = b1 --即 f(a1)=b1
cn-1a2^n-1 + cn-2a2^n-2 + ... + c1a2 +c0 = b2
... ....
cn-1an^n-1 + cn-2an^n-2 + ... + c1an +c0 = bn
其系数行列式是范德蒙行列式的变形
由于ai互不相同, 故系数行列式不等于0
所以方程组有唯一解
即有唯一的多项式 f(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c0,使得f(ai)=bi

Answer 2

将原命题转化为AC=B，C有唯一解的问题
其中A由多特蒙德行列式可知R(A)=n,又R(A,B)=n,原方程有唯一解，得证