求位于曲线y=e^x 的下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。
该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积为e/2。
解：令过原点的切线与曲线y=e^x的切点P为(x，e^x)。
而切线斜率k=y'=e^x，又k=e^x/x，那么e^x/x=e^x，可得x=1，
那么切线的斜率k=e，切线方程为y=ex，而切点P为(1，e)。
那么曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积S为，
S=∫(-∞,1)e^xdx-∫(0,1)e*xdx
令F(x)=∫e^xdx，G(x)=∫e*xdx，那么F(x)=e^x+C1，G(x)=e*x^2/2+C2，则
S=F(1)-F(-∞)-(G(1)-G(0))
=e-0-(e/2-0)
=e-e/2
=e/2
即面积等于e/2。
扩展资料：
1、定积分∫(a,b)f(x)dx的性质
（1）当a=b时，∫(a,b)f(x)dx=0。
（2）当a>b时，∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx。
（3）常数可以提到积分号前。即∫(a,b)K*f(x)dx=K*∫(a,b)f(x)dx。
（4）如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有，
∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx
2、定积分的应用
（1）解决求曲边图形的面积问题
（2）求变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。
（3）求变力做功
某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。
（4）数列求和的极限
参考资料来源：百度百科-定积分
函数y=e^x在点(x0，e^x0)处的切线的斜率为k=y'=e^x0
过原点的切线为y-e^x0=(e^x0)*(x-x0)。
在上式中代入(0，0)，得
0-e^x0=(e^x0)*(-x0)。
解得x0=1。
所以，切点为(1,e)，切线为y=x。
则所求面积为：
S=∫（-∞，0）(e^x)dx+∫（0，1）(e^x-x)dx
=1+e-3/2
=e-1/2。
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
扩展资料：
定积分的应用：
1、解决求曲边图形的面积问题。
2、求变速直线运动的路程。做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。
3、变力做功。某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。
故切线方程：y=e*x；、
S＝∫{-∞,0}e^x dx + ∫{0,1}[e^x-e*x]dx = [1-0]+[e^x-e*x²/2]|{0,1} = 1+[(e-1)-(1-0)e/2] = e/2；
切线方程和切点是怎么求到的啊？求具体 谢谢
因为切线过原点，其斜率为k=e^x0/x0
y'=e^x
为切线的斜率
y'(x0)=e^x0
则
y'(x0)=e^x0=e^x0/x0
解得x0=1
y'(0)=e
k=e/1=e
所以
所求的切线为y=ex
由切线、y轴及y=e的x方所围成的面积s=∫(0,1)[e^x-ex]dx=(e-1)-e/2=e/2-1
k=e^x0 e^x0=kx0=x0*e^x0 x0=1
S=e-1-e/2=e/2-1 e-1为e^x下方面积，e/2为切线下方面积
思路就是先把切线方程求出来，这样就能用定积分算面积了
