Question

y=sinx 周期函数

y=sinx
x属于10 π不是周期函数
为什么？请解释，谢谢
x属于(10, π) 闭区间

Answer 1

假设f(x)是周期函数
不妨设f(x)的最小正周期为t(t>0),则对于任意的x都满足f(x+t)=f(x),
即(x+t)sin(x+t)=xsinx①
令x=0,
则tsint=0,
∴sint=0,
t=kπ(k∈z)
代入①得
(x+kπ)sin(x+kπ)=xsinx
∴(x+kπ)(-sinx)=xsinx
对任意x都成立
∴x+kπ=-x,
x=-kπ/2对任意x都成立
矛盾,假设不成立,
即f(x)不是周期函数

Answer 2

周期函数是指函数在某个区间内满足f（x+t）=f（x），也就是说周期函数是指函数在某个区间上的性质，而10 π只是一个值，函数在一点处不能体现周期函数的性质

追问

谢谢，刚才没有说清楚
x属于(10, π) 闭区间

追答

根据周期函数的定义，定义域没有规定必须是R，的确如此，函数在某个区间上也可以表现出周期性质，比如y=sinx在区间＜-4π，6π＞上是周期函数，这个就说明，一定要在该函数完整的周期区间上才能说明这个性质，不能有一部分函数没有体现出周期，比如你给的那个区间(-10, π)
（(10, π)不行，10＞π）

追问

谢谢
如果定义域是(0,10π)呢？（闭区间）

Answer 3

如果定义域是R，则是周期函数，看你的条件，则不是周期函数，假设当你x+2π超过你的定义域时，则函数值不存在了，而f(x)可能在你的定义域内，即f(x+2π)≠f(x)，则不是周期函数。

追问

谢谢
根据周期函数的定义，定义域没有规定必须是R
这样在某个区间内的不是也可以吗？
望解答，谢谢

追答

这道题中必须是R，例如y=tanx那么定义域不是R，举个例子。y=sinx的定义域是[0,2π],
sinπ/2=1存在，sin（2π+π/2）就不存在了，不能说他也等于1了，因为他的定义域不在[0,2π],则函数值就不存在了。所有它不是周期函数了。不知道你现在是否明白？

追问

如果定义域是(0,10π)呢？（闭区间）

追答

照样不是，定义域必须是R，正弦函数余弦函数都是要求R，我们一般把函数的最小正周期叫做函数的周期，例如y=sinx,的。。。-4π，-2π，2π，4π，6π，。。。，我们把2π叫做它的周期。

Answer 4

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，而，在（10，π）定义域内，f（x+T）=f（x）不是都成立