Question

1,5,13,27…数列如何表示

Answer 1

相邻2项差的数列：+4 +8 +14...， 下一个数推断为：+22，即第5项为49
(a3-a2)-(a2-a1)=8-4=4
(a4-a3)-(a3-a2)=14-8=6
(a5-a4)-(a4-a3)=22-14=8
...
(an+1-an)-(an-an-1)=2n (n>1)
以上式子累加：
(an+1 - a2) - (an - a1) = n(1+n)-2
an+1 - an = n(1+n)-2 + a2 -a1 =n(n+1)-2+5-1=n(n+1)+2
所以：an - an-1 = (n-1)n+2= n^2 - n + 2
an-1 - an-2 = (n-1)^2 - (n-1) + 2
...
a2-a1 = 2^2 - 2 + 2
以上式子累加：【要用到1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6，推导过程略】
an - a1 = n(n+1)(2n+1)/6 - 1 - [n(n+1)/2 - 1] + 2(n-1)
所以数列的通项公式为：
an = n(n+1)(2n+1)/6 - n(n+1)/2 + 2(n-1) + 1 【然后再化简一下，过程略】