Question

如图,已知四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,且∠AOD=90°。

求证：1】AD²=BC²=AB²=CD²；2】若BC=2AD，AB=12，CD=9，求四边形ABCD的周长。
打错了，不是AD²=BC²=AB²=CD²，是AD²+BC²=AB²+CD²。。。

Answer 1

你的第一个问题有问题吧，是不是AD²+BC²=AB²+CD²啊？
这个才是相等的

追问

额，打错了，是AD²+BC²=AB²+CD²

追答

（1）因为∠AOD=90°，所以∠AOB=90°∠BOC=90°∠DOC=90°
根据勾股定理
AD²=AO²+DO²
BC²=BO²+CO²
AB²=AO²+BO²
CD²=CO²+DO²
所以
AD²+BC²=（AO²+DO²）+（BO²+CO²）=AO²+BO²+CO²+DO²
AB²+CD²=（AO²+BO²）+（CO²+DO²）=AO²+BO²+CO²+DO²
所以AD²+BC²=AB²+CD²
（2）假设AD=x
所以BC=2x
由AD²+BC²=AB²+CD²可得
x²+(2x)²=12²+9²
所以5x²=225
x=3√5 BC=6√5
周长=AB+BC+CD+AD=21+9√5
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