Question

设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点为(0,根号3),F1F2分别是椭圆的左右焦点，离心率e=1/2，过椭圆

过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点。（1）求椭圆C的方程（2）是否存在直线l使得以线段MN为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN平行AB，求证（AB绝对值的平方）/（MN的绝对值)为定值

Answer 1

(1) x²/4+y²/3=1。

c/a=1/2，得b/a=√3/2，因为b=√3，所以a=2，c=1，故得解。

(2) 不存在。

设x=1+ay，则代入椭圆方程，得(3a²+4)y²+6ay-9=0，韦达定理，y1+y2=-6a/(3a²+4)，y1y2=-9/(3a²+4)，则若垂直，则有x1x2+y1y2=0，即(1+ay1)(1+ay2)+y1y2=0，即(1+a²)y1y2+a(y1+y2)+1=0，化简得-12a²-5=0，因此不存在。

(3) |AB|²/|MN|=3。

|y1-y2|=√((y1+y2)²-4y1y2)=12√(a²+1)/(3a²+4)，则|x1-x2|=a|y1-y2|，故|MN|=√(a²+1) |y1-y2|=12(a²+1)/(3a²+4)。

关于AB，设x=ay，容易求得|y1'-y2'|=4√3/√(3a²+4)，一样得|AB|=4√3 √(a²+1)/√(3a²+4)。

所以|AB|²/|MN|=3，确实是个定值。