Question

如图,在直角△ABC中,∠ACB=90,D是BC边上的一点,AD⊥DE,且DE交AB于点E，CF⊥AB交AD于点G，F为垂足

1.求证：△ACG∽△DBE
2.若CD=BD,BC=2AC时，求DE/AD的值

Answer 1

1、
因为∠ACB=90°
所以∠ABC+∠CAB=90°，∠CAD+∠ADC=90°
因为CF⊥AB
所以∠ACF+∠CAB=90°
所以∠ABC=∠ACF
因为AD⊥DE
所以∠BDE+∠ADC=90°
所以∠CAD=∠BDE
因为∠CAD=∠BDE、∠ABC=∠ACF
所以△ACG∽△DBE
2、
过B做BH⊥AD，交AD延长线于H
因为ED⊥AD，BH⊥AD
所以DE/AD=BH/AH
因为CD=BD=BC/2，AC=BC/2
所以AC=CD=BD
因为∠ACB=90°
所以∠BDH=∠ADC=45°，AD=CD*√2
因为BH⊥AH
所以BH=DH=BC*√2/2
因为CD=BD
所以AD/BH=2，即AD=2*BH
因为BH=DH
所以BH/AH=BH/（DH+AH）=BH/（BH+2*BH）=1/3

Answer 2

三角形AGF相似三角形AED，角AGF等于角AED。所以角AGC等于角DEB。角ACF+角FCB=90度，角CBF+角FCB=90度。因为角AGC=角DEB，角ACF=角CBF，所以三角形ACG相似三角形DBE。第一题的答案！
我没有笔，第2题用第一题的相似关系，证明三角形ADE与三角形BCA相似就可以了！用角与角相加等于180的关系就OK了！

Answer 3

（1）证明：
∵∠CAB+∠B=90°，CF⊥AB
∴∠CAB+∠ACF=90°
∴∠ACF=∠B
∵AD⊥DE
∴∠BDE+∠ADC=90°
∴∠CAD=∠BDE
∵∠CAD=∠BDE，∠B=∠ACF
∴△ACG∽△DBE
（2）解：
延长AD，做BH⊥AD，垂足为H
∵ED⊥AD，BH⊥AD
∴DE/AD=BH/AH
∵CD=BD=BC/2，AC=BC/2
∴AC=CD=BD
∵∠ACB=90°
∴∠BDH=∠ADC=45°，AD=CD*√2
∵BH⊥AH
∴BH=DH=BC*√2/2
∵CD=BD
∴AD/BH=2，即AD=2*BH
∵BH=DH
∴BH/AH=BH/（DH+AH）=BH/（BH+2*BH）=1/3