如图,在三棱柱△ABC-A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,已知BC=1,BB1=2,∠BCC1=π /3
(Ⅰ)求证:C1B⊥平面ABC;(Ⅱ)试在棱CC1(不包含端点C,C1上确定一点E的位置,使得EA⊥EB1(要求说明理由).(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若AB=√2,求二面角...
(Ⅰ)求证:C1B⊥平面ABC;
(Ⅱ)试在棱CC1(不包含端点C,C1上确定一点E的位置,使得EA⊥EB1(要求说明理由).
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若AB=√ 2,求二面角A-EB1-A1的平面角的正切值. 展开
(Ⅱ)试在棱CC1(不包含端点C,C1上确定一点E的位置,使得EA⊥EB1(要求说明理由).
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若AB=√ 2,求二面角A-EB1-A1的平面角的正切值. 展开
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(Ⅰ)
∵ABC-A1B1C1是三棱柱
∴CC1=BB1=2
∵BC=1,∠BCC1=π /3
∴BC1=√3
∴BC²+BB²1=CC²1
∴C1B⊥BC
∵AB⊥侧面BB1C1C,C1B在侧面BB1C1C内
∴C1B⊥AB
∵BC∩AB=B
∴C1B⊥平面ABC
(Ⅱ)
取CC1中点为E,BB1中点F, 连接EB1,EB
∴EF=BC=1/2BB1=1
∴BE⊥EB1
∵AB⊥侧面BB1C1C
∴EB是EA在侧面BB1C1C内的射影
根据三垂线定理
得EA⊥EB1
(Ⅲ)
∵A1B1//AB
∴A1B1⊥侧面BB1C1C
∴A1B1⊥EB1,且EB1在面A1EB1内
∵EA⊥EB1,EA在面AEB1内
即A1B1,AE分别在两个半平面内,均和棱EB1垂直
∴异面直线A1B1与AE的夹角EAB等于
二面角A-EB1-A1的平面角的大小
∵AB=√ 2,EB=1,
∴tan∠EAB=BE/AB=1/√2=√2/2
即二面角A-EB1-A1的平面角的正切值为√2/2
第三问的方法,本人从来没用过,但没有问题的
∵ABC-A1B1C1是三棱柱
∴CC1=BB1=2
∵BC=1,∠BCC1=π /3
∴BC1=√3
∴BC²+BB²1=CC²1
∴C1B⊥BC
∵AB⊥侧面BB1C1C,C1B在侧面BB1C1C内
∴C1B⊥AB
∵BC∩AB=B
∴C1B⊥平面ABC
(Ⅱ)
取CC1中点为E,BB1中点F, 连接EB1,EB
∴EF=BC=1/2BB1=1
∴BE⊥EB1
∵AB⊥侧面BB1C1C
∴EB是EA在侧面BB1C1C内的射影
根据三垂线定理
得EA⊥EB1
(Ⅲ)
∵A1B1//AB
∴A1B1⊥侧面BB1C1C
∴A1B1⊥EB1,且EB1在面A1EB1内
∵EA⊥EB1,EA在面AEB1内
即A1B1,AE分别在两个半平面内,均和棱EB1垂直
∴异面直线A1B1与AE的夹角EAB等于
二面角A-EB1-A1的平面角的大小
∵AB=√ 2,EB=1,
∴tan∠EAB=BE/AB=1/√2=√2/2
即二面角A-EB1-A1的平面角的正切值为√2/2
第三问的方法,本人从来没用过,但没有问题的
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