Question

微积分！！！求高手

1∫[0,+∞]e^-根号tdt
2设fx在[0,1]上连续,且fx<1,证2x-∫[0,x]ftdt=1在[0,1]上只有一个解
3设fx∈[0,1]上单调递减,则对任意t∈(0,1),有∫[0,t]fxdx≥∫[0,1]fxdx

Answer 1

1）设 -根号t=x
就变成 ∫e^xdx^2=∫2x*e^xdx=2∫xd(e^x)=2[xe^x-∫e^xdx]=2[xe^x-e^x]=2(x-1)e^x
把 x=-sqrt(t) 代回来 f (x)= 2(-sqrt(t)-1)e^(-sqrt(t))
∫[0,+∞]e^-根号tdt=f(+∞)-f(0)=0+2*e^0=2
2）设 F'(x)=f(x) 2x-∫[0,x]ftdt=2x-(F(x)-F(0))=2x+F(0)-F(x)=1
设函数g(x)=2x+F(0)-1-F(x) g'(x)=2-f(x) f(x)<1 so g'(x)>0 so 是增函数
g(0)=-1 g(1)=2+F(0)-1-F(1)=1+F(0)-F(1)>0 （f(x)<1,∫[0,1]f(x)dx<∫[0,1]1dx 也就是F(1)-F(0)<1）
so 函数与x轴只有一个交点
3) 感觉这个题目有问题

Answer 2

1.另根号t=x 分部积分法e^--x移进去
2.2x-1=∫[0,x]ftdt
根据积分定义∫[0,x]ftdt 就是f(t)在[0,x]的面积，且f(t)<1
当f(t)=a（常值）趋向于1时，∫[0,x]ftdt表示面积最大，=a=1
2x-1属于[1,2]
因此，只有两函数只有一个焦点，即只有一解
3.题目不对吧
反例：f(x)=x
∫[0,1]fxdx=1/2
lingt=1/2 ∫[0,t]fxdx=0.125<1/2

Answer 3

刚做过第三道，就只做下这个吧。。。。

我觉得你第三题题目错了，积分号前面有个t的吧。。。

如果有t的话把式子拆开来
左边一个是t∫[0,t]fxdx+(1-t)∫[0,t]fxdx

右边一个是t∫[0,t]fxdx+t∫[t,1]fxdx

然后消掉，就是(1-t)∫[0,t]fxdx和t∫[t,1]fxdx比较

由定积分估值定理，可以算出来这两个式子是一样的但是其中的未知数定义域不同，一个是在t到1，另外一个是属于0到t。

再根据单调递减的性质 即得证

亲打，望采纳。。。

Answer 4

1） - 根为t = X
变成∫E ^ XDX ^ 2 =∫2倍* E ^ XDX = 2∫XD（E ^ x）= 2 [XE ^ X-∫E ^ XDX] = 2 [XE ^ XE ^ X] = 2（X-1）E ^ X
所述= SQRT（T）代回函数f（x）= 2（SQRT（T）-1）E ^（SQRT （T））
∫[0，+∞] E ^ - 根号TDT = F（+∞）-F（0）= 0 +2 * E ^ 0 = 2
2）设F'（x）的=（x）的2个-∫[0，] FTDT = 2×（F（x）的F（0））= 2×+ F（0）-F（x）的= 1 />让我们的函数g（X）= 2X + F（0）-1-F（X）G'（x）= 2 - F（x）的函数f（x） 0，增函数
克（0）= -1克（1）= 2 + F（0）-1-F（1）= 1 + F（0）-F（1）> 0（函数f（x） <1，∫SO函数与×[0,1]（x）的dx的<∫[0,1] 1DX也就是说，F（1）-F（0）<1）
轴只有一个点路口
3）感觉这个主题