Question

矩阵行列式等于其特征值乘积证明，详细过程，方法越多越好

Answer 1

特征行列式：

|λI-A|=(λ-k1)(λ-k2)...(λ-kn)

其中k1,k2,...,kn是n个特征值令上式中的λ=0，得到

|-A|=(0-k1)(0-k2)...(0-kn)

即(-1)^n|A|=(-1)^nk1k2...kn

则|A|=k1k2...kn

扩展资料：

矩阵行列式的相关定理

定理1 设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)。

证 对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有：

det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1)，

由于Mij均为k×k矩阵，由归纳假设有

det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1

此式右端恰是det(AT)按照AT的第一列的余子式展开。因此det(A)=det(An)

参考资料来源：百度百科--韦达定理

参考资料来源：百度百科--矩阵行列式

Answer 2

特征行列式：

|λI-A|=(λ-k1)(λ-k2)...(λ-kn)
其中k1,k2,...,kn是n个特征值
令上式中的λ=0，得到
|-A|=(0-k1)(0-k2)...(0-kn)
即(-1)^n|A|=(-1)^nk1k2...kn
则|A|=k1k2...kn