Question

高等数学中关于极值点判断的定义问题

"设f(x)在x0处连续,且在x0的某个去心临域内可导,若x属于x0左侧的邻域时 ,f'(x)>0,当x属于x0右侧的邻域时,f'(x)<0,则f(x)在x0取得极大值",这是书上的定义, 但是我发现只要
f'-(x0)>0,f'+(x0)<0,即在x0这点的左导数大于0,在x0这点的右导数大于0,f(x0)就是极大值了,而f(x0)的左导数和x0左侧邻域的导数是不一样的概念啊.请问我的这个说法有问题吗(f'-(x0)>0,f'+(x0)<0,f(x0)就是极大值)?
"在x0这点的右导数大于0,"中的大于改成小于,打错一个字

Answer 1

注意书上的定义是说在x0的某个去心临域内可导，在x0处的可导性是不重要的，因为如果在x0处可导，那么f'(x0)=0，当x<x0时（注意不是小于等于）f'(x)>0，当x>x0时f'(x)<0则取极大值。而如果在x0处不可导，那就是你说的情况了，因为你说的情况中函数在x0点左导数和右导数不相等，因此函数在x0处不可导，就像f(x)=x的绝对值一样，这时你的观点是没错的。可见你说的只是书上定义的一个特例而已。

追问

哦,想明白了,谢谢