Question

已知f(x)是定义在（0，正无穷）上的减函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=-1.

1.解不等式f(x)＞0 （答案是属于（0,1））
2.解不等式f(x)-f(x-2)＜-3.

Answer 1

由题，f(1×2)＝f(1)+f(2)
所以，f(1)=0
1、f(x)＞0可化为f(x)>f(1)
因为，f(x)是定义在（0，正无穷）上的减函数
所以，x>0，x<1
即，0<x<1
综合可得，原不等式的解集为(0，1)
2、
因为，f(2)=-1
所以，-3=f(2)+f(2)+f(2)=f(4)+f(2)=f(8)
不等式f(x)-f(x-2)＜-3可化为
f(x)-f(x-2)＜f(8)
即，f(x)<f(x-2)+f(8)=f(8x-16)
因为，f(x)是定义在（0，正无穷）上的减函数
所以，
x>0，
8x-16>0，得x>2
x>8x-16，得x<16/7
综合得，2<x<16/7
所以，原不等式的解集为（2，16/7）