根号下1-X^2的不定积分是多少

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百度网友a1d972b
2018-08-20 · TA获得超过4363个赞
知道答主
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结果是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

x = sinθ,dx = cosθ dθ
∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ
= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C
= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C
= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C
= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

拓展资料

这个根号下的不定积分,符合模型∫√a²-x² dx,本题中就是a=1的情况。根据sin²x+cos²x=1,用sinθ替换x,然后被积函数,被积变量都要改变。

要做出如图所示的三角形,更容易加深理解。最后要把中间变量θ变回x

无回头路的人生
2018-08-23 · TA获得超过734个赞
知道答主
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这个题目还是比如基础的,一般可以采用换元法求解
设y=sqrt(1-x^2),x=sin(t)
dx=cos(t)dt
积分ydx=sqrt(1-x^2)dx=sqrt(1-sin(t)^2)cos(t)dt
=cos(t)^2dt=(cos(2t)+1)/2dt=1/4sin(2t)+1/2t+C
=1/2sin(t)cos(t)+1/2t+C
=1/2xsqrt(1-x^2)+1/2asin(x)+C
总结:带有跟号的积分可以尝试用换元法进行求解。
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低调侃大山
2016-08-31 · 家事,国事,天下事,关注所有事。
低调侃大山
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∫√(1+x^2 )dx
令x=tant,
原式=∫sect·dtant (注:本式还等于∫sec³tdt)

=sect·tant-∫tantdsect
=sect·tant-∫tant·tantsectdt
=sect·tant-∫(sec²t-1)sectdt
=sect·tant-∫(sec³t-sect)dt
=sect·tant-∫sec³tdt+∫sectdt
=sect·tant-∫sect·dtant +∫sectdt
所以
2×∫sect·dtant=sect·tant-∫sect·dt
=sect·tant-ln|sect+tant|+2c
=x√(1+x²)-ln|x+√(1+x²)|+2c

原式=1/2x√(1+x²)-1/2ln|x+√(1+x²)|+c
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fin3574
高粉答主

2013-02-17 · 你好啊,我是fin3574,請多多指教
fin3574
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x = sinθ,dx = cosθ dθ
∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ
= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C
= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C
= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C
= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C
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听不清啊
高粉答主

2013-02-17 · 说的都是干货,快来关注
知道顶级答主
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∫√(1-x^2)dx=[x√(1-x^2)+arcsin(x)]/2+C
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