Question

已知函数f(x)=α*2的x次方+a-2 / 2的x次方+1(x∈R),若f(x)满足f（-x）=-f（x）

（1）求实数α的值（2）证明f（x）是R上的增函数（3）求函数f（x）的值域

Answer 1

解：
看着太费劲了，Lz你难道不知道这世界上有括号这种东西么？
如果：
f(x)=(a*2^x+a-2)/(2^x+1)，那么求解如下：
(1)
根据f(-x)=-f(x)，可得：
f(-x)=[a*2^(-x)+a-2] / [2^(-x)+1]
=[a+(a-2)2^x] / [1+2^x]
=-f(x)
=-(a*2^x+a-2)/(2^x+1)
因此：
-(a*2^x+a-2)=a+(a-2)2^x，恒成立
即：
2^x(-a+2-a)=a-2+a
若要上式恒成立，只能是：
-a+2-a=0
a-2+a=0，
求得：
a=1

(2)
f(x)=[2^(x+1)] / (2^x+1)
显然该函数的定义域为R，
设x1<x2，则：
f(x1)=[2^(x1+1)] / (2^x1+1)
f(x2)=[2^(x2+1)] / (2^x2+1)
f(x1)-f(x2)
={[2^(x1+1)(2^x2+1)]-[2^(x2+1)(2^x1+1)]} / [(2^x1+1)(2^x2+1)]
=[2^(x1+1) - 2^(x2+1)] / [(2^x1+1)(2^x2+1)]
∵x1<x2，
∴x1+1<x2+1
∴根据指数函数性质可知：
2^(x1+1) < 2^(x2+1)
[(2^x1+1)(2^x2+1)]>0
因此：
f(x1)-f(x2)
={[2^(x1+1)(2^x2+1)]-[2^(x2+1)(2^x1+1)]} / [(2^x1+1)(2^x2+1)]
=[2^(x1+1) - 2^(x2+1)] / [(2^x1+1)(2^x2+1)]
<0
所以，在R内，f(x)是增函数
(3)
令2^x=t,t>0，则：
f(x)=2t / (t+1)
显然：f(x)>0
令y=f(x)=2t / (t+1)，则：
y(t+1)=2t
t= y / (2-y) > 0
∴y < 2
综合：
0<f(x)<2