Question

已知点E在直角三角形ABC的斜边AB上，以AE为直径的圆O与直角边BC相切与D.

(1)求证：AD平分∠BAC.(2)若BE=2，BD=4，求圆O的半径
本题需自己画图

Answer 1

(1)证：设圆O的圆心为M,连结MD,
则MD⊥CB,MA=MD,
<MAD=<MDA=90°-<CDA
在⊿ADC中
∵<CAD=90°-<CDA
∴<MAD=<CAD=

故AD平分∠BAC
（2）∵BE=2，BD=4
∴BD²=BEXBM=BE(BE+EM)

解得：EM=6
∴圆O的半径r=EM=6

Answer 2

证明：（1）连接OD（1分）
∵BC是⊙O的切线
∴OD⊥BC（2分）
又∵AC⊥BC（3分）
∴OD∥AC，（3分）
∴∠2=∠3；（4分）
∵OA=OD，
∴∠1=∠3；（5分）
∴∠1=∠2；（6分）
∴AD平分∠BAC；（6分）

（2）解：在Rt△ODB中，∠ODB=90°，∠B=30°，BD=33．
∵tanB=OD/BD
∴OD=BD•tanB=3根号3×（根号3）/3=3（8分）
∴BO=2OD=6（9分）
∵OE=OD=3，
∴BE=BO-OE=6-3=3．（10分）