已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数有f(x+1)=f(1-x)成立. 证明：f(x)是周期为4的周期函数。
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f(x+1)=f(1-x)
令x=t-1
f(t)=f(t-1+1)=f(1-t+1)=f(2-t)
又有f(x)为奇函数
f(2-t)=-f(t-2)=-f((t-3)+1)=-f(1-(t-3))=-f(4-t)=f(t-4)
因此，
f(t)=f(t-4)
再令t=x+4
f(x)=f(x+4)
因此，f(x)是周期为4的周期函数
有不懂欢迎追问
令x=t-1
f(t)=f(t-1+1)=f(1-t+1)=f(2-t)
又有f(x)为奇函数
f(2-t)=-f(t-2)=-f((t-3)+1)=-f(1-(t-3))=-f(4-t)=f(t-4)
因此，
f(t)=f(t-4)
再令t=x+4
f(x)=f(x+4)
因此，f(x)是周期为4的周期函数
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