Question

在正方形ABCD中,点M在边AB上,点N在边AD的延长线上,且BM=DN。点E为MN的中点,DE的延长线与AC相交于点F。

试猜想线段DF与线段AC的关系，并证明你的猜想

Answer 1

线段DF垂直平分线段AC，且DF=0.5AC，

证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G．

则∠EMG=∠N，∠BMG=∠BAD，

∵∠MEG=∠NED，ME=NE，

∴△MEG≌△NED，

∴MG=DN．

∵BM=DN，

∴MG=BM． 

作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG． 

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，

∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°，

∴四边形MBHG是矩形． 

∵MG=MB，

∴四边形MBHG是正方形，

∴MG=GH=BH=MB，∠AMG=∠CHG=90°，

∴AM=CH，

∴△AMG≌△CHG．

∴GA=GC．

又∵DA=DC，

∴DG是线段AC的垂直平分线．

∵∠ADC=90°，DA=DC，

∴DF=0.5AC

即线段DF垂直平分线段AC，且DF=0.5AC

不懂请追问