Question

设m、n为正整数，且m≠2，如果对一切实数t，二次函数y=x2+(3-mt)x-3mt的

设m、n为正整数，且m≠2，如果对一切实数t，二次函数y=x2+(3-mt)x-3mt的图像与x轴的两个交点间的距离不小于|2t+m|,求m、n的值

Answer 1

解：
设二次函数y=x²+(3-mt)x-3mt与x轴的交点为x1,x2，
显然，x²+(3-mt)x-3mt=0时的根就是x1和x2，
又因为：
x²+(3-mt)x-3mt=(x-mt)(x+3)=0
因此：
|x1-x2|=|mt-3|
根据题意：
|mt-3| ≥ |2t+n|
因此：
(mt-3)² ≥ (2t+n)²
化简得：
(m²-4)t²+(6m-4n)t+9-n² ≥ 0
因为上式对于任何t都成立，因此该二次函数必定能配方成完全平方式，也就是说：
√△=0，且m²-4>0，于是：
△=(6m-4n)²-4(m²-4)(9-n²)
=4(mn-6)²=0
∴mn=6
m、n为正整数，m>2(m<-2舍)，因此：
m=3,n=2或者
m=6,n=1