Question

已知f（x）=ax∧4+bx²+c的图像经过点(0，1)，且在x=1处的切线方程是y=x-2 (1)

已知f（x）=ax∧4+bx²+c的图像经过点(0，1)，且在x=1处的切线方程是y=x-2
(1)求y=f（x）的解析式
（2）求f（x）的单调递增区间

Answer 1

解1：
f(x)=ax^4+bx²+c
f(x)经过点(0，1)，所以f(0)=1，得：c=1
x=1时，切线是y=x-2，其斜率是1
所以：f'(1)=1
f'(x)=4ax^3+2bx，f'(1)=4a+2b
4a+2b=1……………………………………(1)
f(1)=a+b+c=a+b+1
切点坐标是(1，a+b+1)
由直线的点斜式，有：y-(a+b+1)=x-1
切线是：y=x+a+b
与所给切线方程比较，有：
a+b=-2………………………………………(2)
由(2)得：a=-2-b……………………………(3)
代(3)入(1)，有：4(-2-b)+2b=1
-8-4b+2b=1
解得：b=9/2
代入(3)，有：a=-2-9/2
解得：a=-13/2
代入所给函数，有：f(x)=-(13/2)x^4+(9/2)x²+1
此即为所求解析式。

解2：
由解1知：f(x)=-(13/2)x^4+(9/2)x²+1
f'(x)=-26x^3+9x
1、令：f'(x)＞0，即：-26x^3+9x＞0
x(-26x²+9)＞0
有：x＞0、-26x²+9＞0……………………(1)
或：x＜0、-26x²+9＜0……………………(2)
由(1)得：0＜x＜(3√26)/26
由(2)得：x＜-(3√26)/26
f(x)的单调增区间是：x∈(-∞，-(3√26)/26)∪(0，(3√26)/26)
2、令：f'(x)＜0，即：-26x^3+9x＜0
x(-26x²+9)＜0
有：x＞0、-26x²+9＜0……………………(1)
或：x＜0、-26x²+9＞0……………………(2)
由(1)得：x＞(3√26)/26
由(2)得：-(3√26)/26＜x＜0
f(x)的单调减区间是：x∈(-(3√26)/26，0)∪((3√26)/26，∞)
综上所述，f(x)的单调区间如下：
单调增区间是：x∈(-∞，-(3√26)/26)∪(0，(3√26)/26)
单调减区间是：x∈(-(3√26)/26，0)∪((3√26)/26，∞)

Answer 2

(1)带入（0,1）得c=1
对函数f（x）求导
f'(x)=4ax^3+2bx
代入x=1
得f'(1)=4a+2b=1(1为切线方程得斜率)
将x=1代入y=x-2得y=-1
将（1，-1）代入f（x）得，a+b+1=-1
联立上面两个方程，解得a=2.5，b=-4.5
则y=f（x）=2.5x^4-4.5x^2+1
（2）对f（x）求导
f'(x)=10x^3-9x
令f'(x)=10x^3-9x>=0
解不等式得x>=0.3√10或者x<=-0.3√10
则增区间为[0.3√10，+∞），（-∞，-0.3√10]