Question

求下列极限lim(1+x)^1/x-e/x在x趋于0时的极限

这个怎么解啊，跪求

Answer 1

极限lim(1+x)^1/x-e/x在x趋于0时的极限是-e/2。

{(1+x)^1/x-e}/x

={e^[ln(1+x)]/x-e}/x

=lim(x--->0)e(e^(ln(1+x)/x-1)-1)/x

=e*lim(x-->0)(ln(1+x)/x-1)/x

=e*lim(x-->0)(ln(1+x)-x)/x²

=e*lim(x-->0)(1/(1+x)-1)/2x

=elim(x-->0)(-x/(1+x))/(2x)

=-e/2

对定义的理解：

1、ε的任意性　定义中ε的作用在于衡量数列通项

 与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N；

又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

2、N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

3、从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式|xn-a|<ε成立”意味着：所有下标大于N的

都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某 ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。

以上内容参考：百度百科-极限

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

如图