Question

不定积分第二类换元定义域问题

不定积分第二类换元定义域问题如图37题，

被积函数的定义域为{x|x>1或x<-1}
当x>1时,设x=sect,t∈(0,π/2)

这个时候若t∈(-π/2，0)也满足，那么能用t∈(-π/2，0)作为换元后的定义域吗？

麻烦说明下理由，谢谢！

Answer 1

可以的。不要太担心他会出现什么问题；其实函数本身再代换时，是可以调整的。

为了计算简便，最好取使得开方，绝对值直接能提出的范围。也就是正数。

例如本题, 设x=sect  t∈（0，π/2）即可!

假设t是在[π/2，π]上呢。也就是x为负值时。显然被积分表达式：1/[x√（x^2-1)]为负

我们知道： dx=sect*tantdt   为负值

被积分表达式=1/[x√（x^2-1)]三角代换为: 1/(sect*(-tant)  为正值

（因为tant为负，所以开方出来必须添负号）

则1/(sect*tant)*sect*tant 也成为负值。

所以，被积分表达式为负数。与1/[x√（x^2-1)]保持一致！

也就是说，当你限定某个定义域后，替换时函数已帮你自动转换了。

看看下面的常见的定义域！

追问

谢谢！

Answer 2

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如图</p>

追答