Question

变态的初二数学题，帮个忙

已知xyz=1，x+y+z=2,x²+y²+z²=16，求代数式1/（xy+2z）+1/（yz+2x)+1/（zx+2y)的值

Answer 1

因为xyz=1所以 X、Y、Z均不为0 所以 1/xy=Z 1/yz=x 1/zx=y
所以原式=z+2z+x+2x+y+2y=3(x+y+z)=3x1=3

Answer 2

∵x+y+z=2，两边平方得，
x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=4，
∵x2+y2+z2=16，
∴xy+yz+xz=-6，
又∵z=2-x-y，
∴
1
xy+2z
=
1
xy+4-2x-2y
=
1
(x-2)(y-2)
，
同理得，
1
yz+2x
=
1
(y-2)(z-2)
，
1
zx+2y
=
1
(z-2)(x-2)
，
∴
1
xy+2z
+
1
yz+2x
+
1
zx+2y
，
=
1
(x-2)(y-2)
+
1
(y-2)(z-2)
+
1
(z-2)(x-2)
，
=
(z-2)+(x-2)+(y-2)
(x-2)(y-2)(z-2)
，
=
x+y+z-6
xyz-2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)-8
，
=
2-6
1+12+8-8
，
=-
4
13
；
故答案为：-
4
13 ．

Answer 3

(x+y+z)/xyz=1/xy+1/xz+1/yz=2
2x+2y+2z=4
1/xy+2z+1/yz+2x+1/zx+2y=2+4=6

追问

兄弟，注意括号，分母是（xy+2z）、（yz+2x）和（zx+2y）

追答

不好意思xy+2z=xy+4-2x-2y=(x-2)(y-2).
yz+2x=(y-2)(z-2),zx+2y=(z-2)(x-2).
4=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=16+2(xy+yz+zx),
xy+yz+zx=-6.
(x-2)(y-2)(z-2)=xyz-2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)-8=13.
原式=[(x-2)+(y-2)+(z-2)]/(x-2)(y-2)(z-2)
=-4/13.