Question

已知数列an中相邻的两项a2k-1,a2k,

（2007•浙江）已知数列{an}中的相邻两项a2k-1、a2k是关于x的方程x2-（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k-1≤a2k（k=1，2，3，…）．（I）求a1，a3，a5，a7及a2n（n≥4）（不必证明）；（Ⅱ）求数列{an}的前2n项和S2n．

(2)用分情况讨论吗就是n大于等于3和n小于3的讨论

Answer 1

0=x^2-(3k+2k)x+3k*2k=(x-3k)(x-2k), x=3k或x=2k.
a(2k-1)<=a(2k),所以，a(2k-1)=2k, a(2k)=3k.
a(1)=a(2*1-1)=2*1=2,
a(2)=a(2*1)=3*1=3,
a(3)=a(2*2-1)=2*2=4,
a(5)=a(2*3-1)=2*3=6,
a(7)=a(2*4-1)=2*4=8,
a(2n)=3n.

s(2n)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+...+a(2n-1)+a(2n)=[a(1)+a(3)+...+a(2n-1)]+[a(2)+a(4)+...+a(2n)]
=2[1+2+...+n] + 3[1+2+...+n]
=5[1+2+...+n]
=5n(n+1)/2,

不必分情况讨论。

追问

题打错了，3K#2*k
求S2n是不是不用讨论因为每次都是两两一求和？

追答

是
0=x^2-(3k+2^k)x+3k*2^k吗？
若是，则
0=(x-3k)(x-2^k), x=3k或x=2^k.
a(2k-1)=4时，
2^n > 3n,
a(2n)=2^n > 3n = a(2n-1).
a(2n)=2^n.

楼主英明，求s(2n)时，不必分情况讨论，一对一对求和就中。
a(2n-1)+a(2n)=3n+2^n.

s(2n)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+...+a(2n-1)+a(2n)=[a(1)+a(2)] + [a(3)+a(4)]+...+[a(2n-1)+a(2n)]
=[2^1+2^2+...+2^n] + 3[1+2+...+n]
=2[1+2+...+2^(n-1)] + 3n(n+1)/2
=2[2^n - 1]/(2-1) + 3n(n+1)/2
=2[2^n - 1] + 3n(n+1)/2,
= 2^(n+1) -2 + 3n(n+1)/2.

Answer 2

由x^2-（3k+2k）x+3k•2k=0

x=2k,x=3k
a2k-1≤a2k

a(2k-1)=2k,a(2k)=3k
a1=2,a3=4,a5=6,a7=8,a2n=3n
S2n=a1+a2+a3+...a2n
=(a1+a3+a5+...+a(2n-1))+(a2+a4+a6+...+a2n)
=(2+4+6+...+2n)+(3+6+9+...3n)
=5n(n+1)/2