Question

数学题求助，请写清思路及过程，在线等，急，谢谢

已知关于x的一元二次方程x2-（4m+1）x+3m2+m=0
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；
（3）抛物线y=x2-（4m+1）x+3m2+m与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）。
请各位老师帮忙讲一下（3）问，请写清思路及详细的解题过程，谢谢。

Answer 1

(1)
0=x^2-(4m+1)x+3m^2+m = x^2 - (3m+1+m)x + (3m+1)m = [x-(3m+1)][x-m],
x=3m+1或x=m
(2)
若 3m+1>2, m<7,则 1/3 < m < 7.
若 m>2 , 3m+1<7, 则矛盾。
因此，总有， 1/3 < m < 7.

(3)
m=1.
x=3m+1=4或x=m=1.
点A，B分别为(1,0)和(4,0).
y=x^2-(4m+1)x+3m^2+m=x^2-5x+4.
x=0时，y=4.因此，点C为(0,4).

抛物线y=x^2-5x+4=x^2-5x+(25/4) - 9/4 = (x-5/2)^2 - 9/4,
的顶点为(5/2, -9/4)
n>9/4时，平移后的抛物线顶点才会位于X轴上方。

点C(0,4)和点(4,0)连线方程为，x+y=4.
x=5/2与点C(0,4)和点(4,0)连线的交点为点(5/2,3/2).
所以，当n>=9/4+3/2时，平移后的抛物线的顶点将不位于三角形ABC的内部。

因此，
9/4 < n < 9/4+3/2 = 15/4

Answer 2

解：(1)证明： Δ= [ - (4m + 1) ]²- 4(3m² + m) =4m² + 4m + 1 =(2m + 1)²
∵ (2m + 1)²≥0， ∴ 无论m取何实数时，原方程总有两个实数根
（2） 解关于x的一元二次方程x² - (4m + 1)x + 3m² + m = 0， 得 X1 = 3m + 1，X2 = m
由题意得 3m+1＞2，m＜7或3m+1＞7，m＜2。解得三分之一＜m＜7
（3）符合题意的n的取值范围是 四分之九＜n＜四分之十五。。。

Answer 3

额，第一问，你直接证明b2-4ac大于0，，

这不好写，我不知道怎么和你说啊