Question

在三角形ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c且满足a^2-ab+b^2=c^2

①求角C
②若三角形ABC为锐角三角形，求根号3sinBcosB+cos^2B的取值范围

Answer 1

解：根据余弦定律 c^2=a*2+b^2-2ab*cosc
又因为 a^2-ab+b^2=c^2
所以 cos C = 1/2
C=60度
2）解：根据二倍角公式，cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1
所以 cos*2 b=（cos2b+1）/2

所以原式 √3 sinBcosB+cos^2B =√3/2 sin2B +1/2(cos2b+1)
=√3/2 sin2B +1/2cos2b+1/2
=cos30° sin2B +sin30°cos2b+1/2
=sin（30°+2B）+1/2
因为是锐角三角形，所以 0°<2B<180°， 则30°<2B+30°<210°
所以sin（30°+2B）的最大值为1，（30°+2B）取90度，B=15度，原式最大为 3/2.
最小值为 -√3/2， 当，（30°+2B）取210度，B=90度，原式最小为 -1/2+1/2=0
但是不能B不能取90度，
原式的取值范围是 （0，3/2]

Answer 2

(1) c²=a²+b²-2abcosC
∵ c²=a²+b²-ab
cosC=1/2 c=π/3
(2) √3sinBcosB+cos²B=√3/2 *sin2B+1/2 *cos2B+1/2
=sin2Bcosπ/6+sinπ/6cos2B+1/2
=sin(2B+π/6)+1/2
三角形ABC为锐角三角形，0<∠B<π/2
-1/2<sin(2B+π/6)<1
√3sinBcosB+cos²B的取值范围(0，3/2)