Question

函数单调性证明题

x>0时，求证 ln(1+x)>arctanx/(1+x)

Answer 1

这是函数不等式，常用的方法就是单调性法。
现令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx=(1+x)[ln(1+x)-arctanx/(1+x)],
则原不等式等价于x>0时f(x)>0.
注意到f(0)=0.只需证明f(x)在(0,+∞)上单调增即可。
而f'(x)=ln(1+x)+1-1/(1+x^2)=ln(1+x)+x^2/(1+x^2),
x>0时ln(1+x)>0,而x^2/(1+x^2)显然大于0,故x>0时,f'(x)>0,f(x)单调增,
因此x>0时f(x)>f(0)=0,即证得原不等式.

Answer 2

令 x/(1+x)=t
x=t/(1-t) 0<t<1
1+x=1/(1-t)
设g(t)=ln[1/(1-t)]-arctant
g'(t)=(1-t)[1/(1-t) ]'-1/(1+t²)
=1/(1-t)-1/(1+t²)
∵ 0<t<1 ∴g'(t)>0，
g(t)单调增
当t=0时 g(0)=0
由于 0<t<1 g(t)>0
即ln[1/(1-t)]-arctant>0
故ln(1+x)>arctanx/(1+x)成立