Question

如图Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于E，DE⊥BE

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如图Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于E，DE⊥BE（1）是说明AC是△外接圆的切线（2）若CE=1，BC=2，求△BED外接圆的面积

Answer 1

（1）证明：作BD的中点O，连接OE．
∵DE⊥BE，
∴BD是圆的直径．
∵OB=OE，
∴∠EBO=∠BEO，
又∵∠CBE=∠EBO，
在直角△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠BEO=90°，即∠CEO=90°．
∴OE⊥AC，
∴AC是△BED外接圆的切线；
（2）解：设BC于圆交于点F，连接DF，OF．
∵CE是圆的切线，
∴CE²=CF•CB
∴CF=CE2/CB =1/2．
∵BD是圆的直径，
∴∠BFD=90°，
∴DF∥AC，
∵OE⊥AC，
∴OE⊥DF，
∴四边形CFME是矩形．
∴MF=CE，ME=CF=1/2，
设圆的半径是x，则在直角△OMF中，OF=x，OM=x-1/2．
∵OF²=MF²+OM²，
∴x2=（x-1/2）²+1，
解得：x=5/4．
∴圆的面积是：π（5/4）²=25π/16．
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