Question

如图，E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，求证：1、四点E,F,G,H共面2、BD//平面EFGH 3、

人教A版选修2-1P118/13

Answer 1

1、EH是三角形ABD的中位线，
GF是三角形CBD的中位线，
所以EH和GF均平行于BD,
所以EH//GF,即EFGH四点共面。
2、因EH是平面EFGH上的直线，由上可知BD//EH
所以BD//平面EFGH

追问

3、设点M是EG和FH的交点，求证：对空间的任意一点O，有向量OM=4分之1（向量OA+向量OB+向量OC+向量OD)

追答

(以下为方便，OA即表示向量OA)
EFGH是平行四边形，有
OM=1/2(OE+OG)
OM=1/2(OH+OF)
故OM=1/4(OE+OF+OG+OH)
又OE=1/2(OA+OB)
OF=1/2(OB+OC)
OG=1/2(OC+OD)
OH=1/2(OD+OA)
即OE+OF+OC+OH=OA+OB+OC+OD
所以原题得证