Question

高 数 题

Answer 1

你好，本题用对称性做比较简单，先把括号打开，得x^2+4y^2+1+4xy+2x+4y，由于积分区域关于x，y轴都对称，而4xy、2x、4y都是关于x或y的奇函数，所以∫∫(4xy+2x+4y)dxdy=0，原积分=∫∫(x^2+4y^2+1)dxdy，再用极坐标计算，=∫dθ∫[r^3*(cosθ)^2+4r^3*(sinθ)^2+r]dr

Answer 2

原式=∫∫D 【x²＋4xy＋4y²＋2x＋4y＋1】dσ
利用对称性，得 【或用偶倍奇零】
原式==∫∫D 【x²＋4y²＋1】dσ
=5/2∫∫D 【x²＋y²】dσ+∫∫Ddσ
=5/2∫∫Dp³dpdθ＋πR²
=5/2∫[0,2π]dθ∫[0,R]p³dp
=5/2 ×2π×1/4R的4次方＋πR²
=5/4πR的4次方＋πR²