高数如果f(x)在x0的去心领域可导,但导数的x0的左右极限不相等,f(x)在x0的左右导数时可用洛必达法则吗?

f(x)在x0处连续。... f(x)在x0处连续。 展开
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hahahazhongyukegai

2019-07-16 · TA获得超过887个赞
知道小有建树答主
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在题目中的条件下,求左右导数时,可以用罗必塔法则。罗必塔法则的条件是求两种未定式的极限时,如果导数之比的极限存在(或为无穷大),那么未定式的极限等于导数之比的极限。下面以右导数为例说明:右导数f'(x0+0)=lim(x–>x0+)[f(x)–f(x0)]/x–x0,由于f(x)在x0处连续,这个极限是0/0型未定式,用罗必塔法则,f'(x0+0)=lim(x–>x0+)f'(x),根据条件,导数在x0的右极限是存在的,所以罗必塔法则的条件满足。左导数的情形是一样的。
湛易云0ib
2019-06-26 · TA获得超过6193个赞
知道大有可为答主
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证明就是了:
(1)仅证f(x)在x0这一点左导数存在的情形:此时极限
lim(x→x0-0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0) = f'-(x0)
存在,于是
lim(x→x0-0)f(x) =f(x0)+lim(x→x0-0){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}*(x-x0) = f(x0),
即f(x)在x0左连续。
右导数存在的情形类似证明。
(2)是可导的充要条件。
注:以上证明不管f(x)是否为分段函数都成立。
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