Question

全等三角形证明题？

第一问得出的结论是 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

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Answer 1

1.三角形中边长关系的证明
如下图所示，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E为AB上任意一点，求证：CE=DE.
我们仔细观察图形与条件，想到通过证明两个三角形全等来说明两条线段相等，那么证明哪两个三角形全等呢？因为已知了AC=AD，AE是公共边，我们只需知道∠1＝∠2就可以了.由于已知条件中还有∠ACB=∠ADB=90°的条件，这样我们马上想到通过证明两个直角三角形全等来证明∠1＝∠2.
证明：
在Rt△ABC和Rt△ABD中，AB=AB，AC=AD，
∴
Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）.
∴
∠1=∠2.
在△ACE和△ADE中，
∴
△ACE≌△ADE（SAS）.
∴
CE=DE.
如图所示，在△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG=BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF=CD，连接AF、AG.
（1）按要求补全图形，并标注字母；
（2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论.
根据题意很容易画出图形.再由点D是AB、CF的中点，点E是BG、AC的中点，我们很容易判断△ADF≌△BDC，△AGE≌△CBE，这样我们就能看出AF与AG的关系是相等了.
解：（1）补全图形，如图所示.
（2）AF与AG的大小关系为：AF=AG.
证明：在△ADF和△BDC中，
∴
△ADF≌△BDC（SAS），
∴
AF=BC.
同理可证：
△AGE≌△CBE（SAS）.
∴
AG=BC，
∴
AF=AG.
2.三角形中角度关系的证明
如图所示，已知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连接AF，求证：∠B=∠CAF.
由EF垂直平分AD我们能发现∠ADF＝∠FAD，而要证的结论中有∠CAF，∠CAF=∠DAF-∠DAC，想到这里结论就很容易证明了.
证明：∵
EF垂直平分AD，
∴
FA=FD，
∴
∠FAD=∠ADF（等边对等角）.
∵
∠B=∠ADF-∠BAD，∠CAF=∠FAD-∠DAC，∠BAD=∠DAC，
∴
∠B=∠CAF.
如图所示，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE‖BC.
要证AE‖BC，我们显然想到要找相等的同位角、内错角或互补的同旁内角，通过观察，我们自然想到找∠EAC和∠ACB这对内错角相等.
证明：∵
△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴
∠ECD=∠ACB=60°.
∵
∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD.
又∵
AC=BC，EC=DC，
∴
△ACE≌△BCD.
∴∠EAC=∠B=60°.
∴∠EAC=∠ACB.
∴
AE‖BC.
如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点，如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中，保持AN=BM，请你判
断△OMN的形状，并证明你的结论.
由于AN=BM，我们会自觉得想到证有关线段AN、BM、ON、OM的三角形具有全等关系，这样我们想到连接AO，△NAO≌△MBO就很容易得出.我们可以得出△OMN是等腰三角形.想到这一步我们要进一步考虑它是否是等边三角形或等腰直角三角形，由△NAO≌△MBO得出的角度关系不难发现∠NOM是直角.
解：△OMN为等腰直角三角形.理由如下：
∵
AB=AC，∠BAC=90°，
∴
∠B=∠C=45°.
∵
O是BC的中点，
∴
∠NAO=∠OAB=∠CAB=×90°=
45°，∠AOB=90°.
∴
∠OAB=∠OBA
.
∴
OA=OB.
在△NAO和△MBO中，
∴△NAO≌△MBO，
∴
ON=OM，∠1=∠2，
∵
∠2+∠3=90°，
∴
∠1+∠3=90°.即∠NOM
=90°.
∴
△OMN为等腰直角三角形.

Answer 2

第一个可以根据
边角边直接证明
角A等于角A
角AFC等于角AEB
所以角B等于角C
BD=CD
所以
三角形ABD全等于三角形ADC
所以AB=AC
就可以求出三角形ABE=三角形AFC
就可以得出AF=AE
因为AF=AE，角AFD=角AED。AD=AD
就可以得出三角形AFD=三角形AED
就可以得出角FAD=角EAD

Answer 3

证明：因CH三角形ABC高的延长线，所以三角形HDA是直角三角形，在直角三角形中角CHA+三角形HAD=90度
又因三角形ABF全等于三角形AHC、HC=AB根据三角形全等定理，相等的边对应的角相等，所以角DAF=角CHA，所以角DAF+角HAD=90度，因此AF垂直AH

Answer 4

因为BE和CD是△ABC的两条高
所以角ADC=角AEB=90度
所以角DAC+角ACD=90度，角EAB+角ABE=90度
又因角DAC和角EAB是同一个角
所以角ACD=角ABE
又因BF=CA，HC=AB
所以三角形ABF≌三角形AHC（SAS）
所以角FAB=角H
因为角H+角HAB=90度
所以角HAB+角FAB=90度
所以角HAF=90度
即：AF⊥AH.

Answer 5

解题过程如图所示，用角角边来证明三角形全等，望采纳，多谢~~~