Question

一道超难的概率题

假设有1到100一共100个球 100为最高 1为最少 两个人比赛 比谁抽得高 每人有10次机会 10次抽完以第10次为准 抽到1个球可以选择留 不继续再抽 分数为此球 或弃 再抽第二个球 可以抽10次 两个人比赛:问1 假设第一球抽到90,应不应该继续抽 2.获胜的最佳策略是什么
双方同时抽 并且不知对方抽到什么

Answer 1

100个球，抽中每个球的概率都是1%，
我把它们分别从1-10、11-20、21-30......91-100分成10个分组，抽中10个分组其中的一个分组的概率为10%，也就是说，抽中91-100的概率为10%。
第一次抽中90，也就是意味着假如你想继续抽必须抽中91-100的分组才划算，而你还剩9次机会，抽中91-100分组的概率为10%，9×10%=90%＜100%，故：再抽不划算！所以不应该继续抽！
那么第一次抽中多少才能继续抽呢？假如你第一次抽中89，意味着再抽中90-100才划算，一共11个区间，也就是11%的概率，抽9次也就是9×11%=99%＜100%，故：再抽不划算！
如果抽中88，再抽区间变12，也就是12%概率，抽9次也就是9×12%=108%＞100%，故：再抽划算！
也就是说，第一次抽中小于89就可以再抽。
同理，当你抽第2球是88的时候，再抽8次也就是8×12%=96%＜100%，故：再抽不划算！
当你抽到87时，区间变13，再抽8次就是8×13%=104%＞100%，故：再抽划算！
当你抽第3球抽到86的时候，区间变14，再抽7次就是7×14%=98%＜100%，故：再抽不划算！
当你抽到85的时候，7×15%=105%＞100%，故：再抽划算！
当你抽第4球是84时，6×16%=96%＜100%，再抽不划算！
抽到83时，6×17%=102%＞100%，再抽划算！
当你抽第5球是81时，5×19%=95%＜100%，再抽不划算！
抽到80时，5×20%=100%=100%，中间值，可以继续可以放弃。
抽到79时，5×21%=105%＞100%，再抽划算！
当你抽第6球是76时，4×24%=96%＜100%，再抽不划算！
抽到75时，4×25%=100%=100%，中间值，可以继续可以放弃。
抽到74时，4×26%=104%＞100%，再抽划算！
当你抽第7球是67时，3×33%=99%＜100%，再抽不划算！
抽到66时，3×34%=102%＞100%，再抽划算！
当你抽第8球是51时，2×49%=98%＜100%，再抽不划算！
抽到50时，2×50%=100%=100%，中间值，可以继续可以放弃。
抽到49时，2×51%=102%＞100%，再抽划算！
当你抽第9球是50时，1×50%=50%＜100%，再抽不划算！
将1-50和51-100分成两大分组，抽中其中一个分组的概率为50%，当你第9次抽到低于50的球时，值得最后一搏再抽一次！

Answer 2

刚刚看到有人说.获胜的最佳策略：当摸到94或以上就选择留
因为对手摸不到95-100的概率：94/100*93/99*```*85/91=52.5%
这样至少概率上是不输的（有可能平）。
这种观点肯定是不对的,因为你根本就不能保证你10次内能摸到95~100的球
假如你第九次抽到了94,按照你的策略,你会把球放弃,但此时显然不该放弃
从博弈论的角度来看,两个博弈方的地位完全平等,所以如果都采用自己的最优策略,每一方获胜的概率都会是50%,不可能存在使你胜率超过50%的策略.
因此,最优的策略不是战胜他人,而是尽可能的改善自己,并保证自己50%的胜率,在对手失误时,获得超过50%的胜率

要理性的解决这个问题,我们可以这样想

首先,我们决定是否继续抽得看继续抽是否能改善现在的分数,只要预计继续抽改善得分的可能高于恶化得分的可能,我们就要继续抽
同时,当我们手里有n个球时,不管对手手里有几个球,都不影响我们的决策,这点很重要
比如说我们抽出了3个球,分别是1,2,3.那么不管对手手里有几个球,我们再抽一个球,则下一个球的可能抽到的号码都在[4,100]之间,且概率都为1/97,因为我们并不知道对手手中的号码,也不知道对手用的什么策略.

现在先说第一问

第一个球抽出了90,如果继续抽,有9次机会可能使结果改善,这个很难算,但没有改善结果的概率却很好算,等于(89/99)*(88/98)*(87/97)*...*(81/91)=0.367196<0.5 所以我们就该把球弃了,继续再抽

那么最佳的策略已经很明显了

在你第i次抽出第i个球时,根据你的第i个球和之前弃的i-1个球来算出接下来用完所有的10-i个机会都无法改善现在分数的概率,只要这个概率大于0.5,则留下这第i个球,小于0.5,则继续抽球.
等于0.5?...这个不可能发生,分母里面有个97是质数

注意,这个策略当然无法保证你的最后结果达到最优,只能保证期望值逐渐改善.所以一次比赛看运气,重复多次比赛这个策略就能帮上忙

Answer 3

假设1抽到90 那么2抽到91-100才能赢，
那么我们算2连续10次都抽不到91-100的几率：90/100*89/99````*81/91=33.05%
那么2能抽到91-100的几率为：1-33%=67%
1、假设第一球抽到90,应不应该继续抽，应该继续抽。
2、获胜的最佳策略：当摸到94或以上就选择留。
对手摸不到95-100的概率：94/100*93/99*```*85/91=52.5%
这样至少概率上是不输的（有可能平）。

Answer 4

我刚学概率学，所以无法判断前面那位的方法是否对错，我的看法不同：

设1-100为：{ω1-ω100}= Ω>0; ωn∈{1,...n}\{ω n-1}

设9（抽球次数）为：k=9

以前面那位同学所述，算自己的概率可忽略对手以及他的球。

如题所说，我们可以选择弃球，这就意味着放弃的球不会在Ω里出现。

我的公式是：

100!/9!(100-9)！= x

但计算器空间有限，实在算不出来。。

望能够理解。希望你能够把此方法当基础用。

祝好