Question

在平面直角坐标系中，已知△OAB的三个顶点分别为O(0,0)、A(8,6)、B(0,6).点P从点O出发

在平面直角坐标系中，已知△OAB的三个顶点分别为O(0,0)、A(8,6)、B(0,6).点P从点O出发，在O、A之间作往返运动，速度为每秒2个单位；点Q从O点出发，在边OB、BA上沿O→B→A的方向运动，速度为每秒1个单位，当点Q到达终点A时，点P也停止运动.若P、Q两点同时出发，运动的时间是t秒。
过点P作PC⊥AB于C,PD⊥OB于D,设CD的中点为M,连结BM。求BM取得最小值时t的值。

答案不止一解，请写明全部详细过程，谢谢！

Answer 1

知识点：相似Δ，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

 

OP=2t，AP=10-2t，

ΔOPD∽ΔOAB得：PD/OP=AB/OA=4/5，∴PD=8/5t，

ΔPAC∽ΔOAB得，PC/PA=OB/OA=3/5，∴PC=3/5(10-2t)=6-6/5t，

BM=1/2CD=1/2√(PD^2+PC^2)=1/2√［(8/5t)^2+(6-6/5t)^2］=1/2√［4t^2-72/5t+36］

=√［(t-9/5)^2+144/25］

∴当t=9/5时，BM最大=12/5。

Answer 2

t<=14秒
OA=10
OA所在的直线方程y=3x/4
P点坐标（8t/5,6t/5)
D点坐标（0,6t/5)
PC所在的直线方程y-6t/5=-4/3(x-8t/5) y=(-4x+10t)/3
C点坐标[(5t-9)/2,6]
M点坐标[(5t-9)/4,(6t+30)/5]
BM^2=[(5t-9)/4]^2+[6-(6t+30)/5]^2=(1201t^2-2250t+2025)/400
=[1201(t^2-2250t/1201+2250*2250/2402*2402)+2025-1201*2250*2250/2402*2402]/400
t=2250/1201秒 （10-2250/1201秒 10+2250/1201秒 ）
BM最小值=（根号14008464）/2404（约等于根号2.424）