Question

数学分析证明题

已知条件：

在 x>=1 时有界
f(x)在 x>=1 时 是非递减函数

求证：
f(x)在 x>=1 时有界。
图片可能不是太大。
第一个左边函数是F（x），右边积分上限是x，积分下限是1，然后是 f(t)/t 和 dt

第二个图片是F(X) / lnX

题里面X和x没有区别，但F(x) 和 f(x) 是两个函数。当然这些你们肯定都能看懂。我只是怕你们看不清楚。





Answer 1

证明:由题设可知,有M>0,|F(x)/In(x)|<=M,
因为x>=1时,In(x)>0,所以|F(x)|<=In(x)M,
|积分(1到x)[f(t)/t]dt|<=In(x)M,
由holder不等式的(中文名应该叫霍尔不等式吧自己google打符号实在太难)
{积分(1到x)|f(t)|dt}×{积分(1到x)(1/t)dt}<=In(x)M
左边的第二个积分是In(x)
而且f(t)非减就可以知道|f(t)|<=M所以f(t)在t>1时有界
还有这应该是微积分而不是mathematical analysis吧
数分要学应该是Rudin教授的书比较好吧,微积分就不知到了

Answer 2

非递减函数这个说法容易引起误解, 有可能理解成"不是减函数"(这样就有反例了).
说单调非递减函数可能更清楚一点, 直接说增函数也行 (区分增和严格增).

由f(x) ≥ f(1)知f(x)有下界, 只要再证明f(x)有上界.
因为F(x)/ln(x)有界, 可设M > 0使F(x)/ln(x) < M对任意x ≥ 1成立.
即有∫{1,x} f(t)/t dt = F(x) < M·ln(x)对任意x ≥ 1成立.
若f(x)没有上界, 则存在a > 1使f(a) > 2M, 于是对x ≥ a有f(x) ≥ f(a) > 2M.
x ≥ a时F(x) = ∫{1,x} f(t)/t dt = ∫{1,a} f(t)/t dt+ ∫{a,x} f(t)/t dt
> F(a)+∫{a,x} 2M/t dt = F(a)+2M(ln(x)-ln(a)) = M·ln(x)+(M·ln(x)-2ln(a)+F(a)).
由M > 0, 存在x ≥ a使M·ln(x)-2ln(a)+F(a) > 0, 此时F(x) > M·ln(x), 矛盾.
所以f(x)也有上界.

Answer 3

因为f(x)非递减，即对任意x1,x2属于[1，正无穷），当x1>x2,有f(x1)>=f(x2)
不妨设f(x)无界，即存在数n>=1，x>n时，有f(x)趋于无穷大，则f(x)/x也无穷大，
则存在N使得N>n时,有F(X)趋于无穷大，ln(N)为常数，与题设矛盾

追问

有f(x)趋于无穷大，则f(x)/x也无穷大

这句不一定吧？

追答

我记得书上有，书不在身边可惜了，真不行把N分两种情况一种是足够大常数要么是无穷大，前面那个好证书上有定理可以直接用，后一个是反常积分，你这个题我看过，放假书不在身边，你还真是用功……
你是要考研吗……

追问

能大概说下是什么书吗？我去查查。之所以还在学习是因为我在国外读书，已经开学了...

追答

我不知道国外用什么书……国内现在数学分析用的比较多的是，《数学分析》（华东师大版本），
这个题应该算比较简单的，没学好不好意思……
你要是找扫图版估计也挺难找其实……你这个也可能不是用我这个方法，可能直接证更快……

Answer 4

好难啊..........