Question

初中几何：如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，OF⊥AB，垂足分别是E、F。求证CE=DF

Answer 1

证明：因为AC垂直BC
所以角ACB=90度
因为AD垂直BD
所以角ADB=90度
所以角ACB=角ADB=90度
因为BC=AD
AB=AB
所以直角三角形ACB和直角三角形ADB全等（HL)
所以AC=BD
角CAE=角DBF
因为CE垂直AB
所以角AEC=90度
因为DF垂直AB
所以角DFB=90度
所以角AEC=角DFB=90度
所以三角形AEC和三角形BFD全等（AAS)
所以CE=DF

Answer 2

解：∵AC⊥BC, AD⊥BD（已知）
∴∠ACB=∠BDA=90°（垂直定义）
∵AB=BA（公共边）, BC=AD（已知）
∴△ACB≌△BDA（斜直）
∵CE⊥AB,DF⊥AB（已知）
∴CE=DF（全等三角形的对应边上的高相等）

Answer 3

∵AC⊥BC ，AD⊥BD ，

∴∠ACB=∠BDA=90°  ，

又∵ AB=BA  ，AD=BC ，

∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD ；

∴ ∠ABC=∠BAD ，

∵ CE⊥AB，DF⊥AB ，

∴ ∠AFD=∠BEC=90°  ，

 又∵ ∠ABC=∠BAD ，AD=BC ，

∴ Rt△AFD ≌ Rt△BEC ，

∴CE=DF 。

Answer 4

不使用全等的证明。

证：AC⊥BC，
则由勾股定理有，AB²=AC²+BC²
同理，AD⊥BD，则 AB²=AD²+BD²
AD=BC，从而 AC=BD
则有：AC*BC=AD*BD
又CE⊥AB，2*S△ACB=AC*BC=AB*CE
同理，DF⊥AB，2*S△ADB=AD*BD=AB*DF
从而：AB*CE=AB*DF
由于 AB ≠ 0，
从而：CE=DF。
证毕。

Answer 5

解：∵AC⊥BC, AD⊥BD（已知）
∴∠ACB=∠BDA=90°（垂直定义）
∵AB=BA（公共边）, BC=AD（已知）
∴△ACB≌△BDA（斜直）
∵CE⊥AB,DF⊥AB（已知）
∴CE=DF（全等三角形的对应边上的高相等）

Answer 6

　　如图：∵CE⊥AB,DF⊥AB

　　           ∴∠CEB=∠DFA

　　       又∵AD=CB, AC⊥BC,AD⊥BD

　　           ∴四边形ADBC为矩形

　　           ∴AD∥CB

　　           ∴∠CBE=∠DAF

　　       又∵∠CEB=∠DFA

　　             ∠CBE=∠DAF

　　               CB=AD           

　　           ∴△BCE≌△ADF(AAS)

　　           ∴CE=DF