Question

把210个大小相同的正方形，拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？ 全部写出来，好像是16种

Answer 1

假设正方形的长度是a，那么正方形的面积就是a²，所以210个正方形的面积就是210a²。
所以拼成的长方形的面积就是210a²。因为是正方形拼成的，所以长方形的长和宽是a的整数倍。设长xa，宽ya，那么有xaya=210a²，xy=210。
将210因数分解得210=2×3×5×7。那么把质因数中任意组合成两组相乘，就能得到一个合乎要求的长方形。选1个质因数做x，有4种可能。选2个质因数的积做x，有4×3÷2=6种可能。选3个质因数的积做x有4×3×2÷（3×2×1）=4种可能，那么这些可能合起来是4+6+4=14种可能，但是这些情况中每种长方形都计算了两次，所以是14÷2=7种长方形。在加上1×210这种，是8种长方形。

追问

能不能列出来

Answer 2

不妨设正方形边长为 1 ，那这个问题其实就是 210 表示为两个正整数的乘积。
先分解质因数
210 = 1 × 2 × 3 × 5 × 7
然后把质因数分组：
1 2357
12 357
13 257
15 237
17 235
123 57
125 37
127 35

如果长宽颠倒不算，就是八种，颠倒一下就十六种