Question

已知在数列an中,a1=1/2,an+1=3an/an+3,已知bn的前n项和为sn

，且对任意正整数N，都有bn·n（3-4an）/an=1成立，求证，1/2≤sn＜1

Answer 1

a(n+1)=3a(n)/[a(n)+3],
若 a(n+1)=0,则， a(n)=0, ..., a(1)=0,与a(1)=1/2矛盾。
因此，a(n)不为0。
1/a(n+1) = (1/3)[a(n)+3]/a(n) = 1/a(n) + 1/3,
{1/a(n)}是首项为1/a(1)=2,公差为1/3的等差数列。
1/a(n) = 2 + (n-1)/3 = (n+5)/3,
a(n) = 3/(n+5).

3-4a(n)=3-12/(n+5)=(3n+15-12)/(n+5)=3(n+1)/(n+5),
[3-4a(n)]/a(n) = 3(n+1)/(n+5) * (n+5)/3 = n+1,

1 = b(n)*n[3-4a(n)]/a(n) = b(n)*n(n+1),
b(n) = 1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1).

s(n) = b(1)+b(2)+...+b(n-1)+b(n)
=1/1-1/2 + 1/2-1/3 + ... + 1/(n-1)-1/n + 1/n-1/(n+1)
=1 - 1/(n+1)
=n/(n+1),
<1.

n>=1时，
n/(n+1)-1/2 = (2n-n-1)/[2n+2]=(n-1)/(2n+2)>=0，
所以，n/(n+1)>=1/2.

因此，
1/2 <= n/(n+1) = s(n) < 1