Question

问题是 已知函数f(x)=x^3+ax2+x+1,a∈R （1）讨论函数f（x）的单调区间

问题是 已知函数f(x)=x^3+ax²+x+1,a∈R
（1）讨论函数f（x）的单调区间
（2）设函数f（x）在区间（-2/3，-1/3）内是减函数，求a的取值范围

Answer 1

1）求函数的导数f'(x)=3x^2+2ax+1.

如图,位于两根之间，f'(x)<0,所以f(x)在（ [-a-sqrt(a^2-3)]/3 , [-a+sqrt(a^2-3)]/3 ）上是单调递减函数，而在两根之外，f'(x)>0,即在（ -无穷，[-a-sqrt(a^2-3)]/3 ）并（ [-a+sqrt(a^2-3)]/3 ，+无穷）上是单调递增函数。

2）如图

区间必须落在（ [-a-sqrt(a^2-3)]/3 , [-a+sqrt(a^2-3)]/3 ）上，即[-a-sqrt(a^2-3)]/3≤-2/3且[-a+sqrt(a^2-3)]/3≥-1/3,解不等式有a≥2

Answer 2

f(x)=x^3+ax^2+x+1，
f'(x)=3x^2+2ax+1，
（1）讨论f(x)的单调区间:
令f'(x)=0，即3x^2+2ax+1=0，
其中△=4(a^2-3)，
①当|a|≤√3时，在(-∞，+∞）上，所以f'(x)≥0，f(x)在(-∞，+∞）上单调增加；
②当|a|＞√3时，
在(-∞，
-[a+√(a^2-3)]/3]及(-[a-√(a^2-3)]/3，+∞）上f'(x)≥0，f(x)单调增加；
在(-[a+√(a^2-3)]/3，-[a-√(a^2-3)]/3]上f'(x)≤0，f(x)单调减少。
（2）f(x)在区间(-2/3,-1/3）内是减函数，说明
(-2/3,-1/3)是(-[a+√(a^2-3)]/3,-[a-√(a^2-3)]/3)的子集，
必须同时有①-[a+√(a^2-3)]/3≤-2/3，②-[a-√(a^2-3)]/3≥-1/3，
即①√(a^2-3)≥2-a,②√(a^2-3)≥a-1，
解不等式得a≥2。
.
【解法二】根据三次项系数大于0的特点，f(x)在区间(-2/3,-1/3）内是减函数的充要条件是：f'(-2/3)≤0，且f'(-1/3)≤0，同样可以得到
a≥2。

追问

你是怎么想到去讨论|a|≤√3和 |a|＞√3的啊？-[a+√(a^2-3)]/3]怎么算出来的的啊。。超难的。

追答

△=4(a^2-3)＝0＝〉lal=√3 为驻点（极值点）