Question

设函数f（x）对任意实数x满足等式f（x）=f（x^2）且f（x）在x=0和 x=1处连续证明？

f（x）必是常值函数，详细过程

Answer 1

设F(x)=f(x)-2，则由已知得:
对任意实数x,y都满足F(x)+F(y)＝F(x+y),当x＞0时，F(x)＞0
任取x1<x2，则x2-x1>0,F(x2-x1)>0
有F(x1)-F(x2)=F(x1)-F(x1+(x2-x1))
=F(x1)-(F(x1)+F(x2-x1))
=-F(x2-x1)<0
即F(x1)<F(x2)
得F(x)是(-∞,+∞)上的增函数
(2)f(3)＝5 有f(3)-2＝3， F(3)=3
又F(3)=F(1+1+1)=3F(1)
得 F(1)=1
f(2a－1)＜3
f(2a－1)-2＜1
F(2a－1)＜F(1)
据F(x)是(-∞,+∞)上的增函数
得2a-1<1
解得 a<1
所以a的取值范围是(-∞,1)
希望能帮到你！