Question

已知函数f(x)=x2+ax+a/x,x∈[1,正无穷)且a<1

已知函数f(x)=x2+ax+a除以x，x属于[1，正无穷），且a<1
(1)判断f(x)的单调性并证明；
(2)若m满足f(3m)>f(5-2m)，试确定m的取值范围。
(3)若函数g(x)=x? f(x)对任意x属于[2，5]时，g(x)+2x+3/2>0恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

解：①由题意对函数f（x）求导：
f（x）’=2x+a-a/x^2
=(2x^3+ax^2-a)/x^2
令2x^3+ax^2-a=h（x）
则h（x）’=6x^2+2ax=2x(3x+a)
∵x属于[1，正无穷），则对于根x=-a/3讨论：
Ⅰ.a属于（-3，1）时，h（x）’＞0恒成立，h（x）在x属于[1，正无穷）上单调增，故h（1）为h（x）min=2＞0，f（x）’＞0在x属于[1，正无穷）恒成立，故函数f（x）在x属于[1，正无穷）上单调增

Ⅱ.a属于（负无穷，-3）时，则h（x）’在（1，-a/3）单调减，在（-a/3，正无穷）单调递增，故h（-a/3）为h（x）min=（a^3-27a）/27，此时发现a=-3根号3时使h（x）min=0，则继续分情况讨论：

1.a属于（-3根号3，-3）时，h（x）min＞0，f（x）’＞0在x属于[1，正无穷）恒成立，故函数f（x）在x属于[1，正无穷）上单调增

2.a属于（负无穷，-3根号3）时，h（x）min＜0，此时由于h（1）=0，再令则h（x0）=0，此时2x0^3+ax0^2-a=0，而f（x）应在[1，x0）上单调递减，（x0，正无穷）单调递增……

综上所述，a属于（-3根号3，1），f（x）在x属于[1，正无穷）上单调增；a属于（负无穷，-3根号3），f（x）应在[1，x0）上单调递减，（x0，正无穷）单调递增……本题过于复杂，x0的值不知如何解得，第一问没理由这么BT，请楼主看题目有无错误……

第二问：根据第一问区间和单调性的关系，得3m、5-2m的大小关系，从而得到m的范围……

第三问：？是点乘么……还是通过求导解决函数问题……