向量混合积分配律证明
对混合积[a×b,b×c,c×a]使用分配律，得[a×b,b×c,c×a]=[a,b,c]+[a,b,a]+[a,c,c]+[a,c,a]+[b,b,c]+[b,b,a]...
对混合积[a×b,b×c,c×a]使用分配律，得[a×b,b×c,c×a]=[a,b,c]+[a,b,a]+[a,c,c]+[a,c,a]+[b,b,c]+[b,b,a]+[b,c,c]+[b,c,a]=[a,b,c]+0+0+0+0+0+0+[b,c,a]=2[a,b,c]＝0，由此得出a,b,c共面。
以上的使用分配律怎么证明？ 展开
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1个回答
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下面把向量外积定义为：a × b = |a|·|b|·Sin<a, b>
我们假定已经知道了：a × b = - b × a
内积（即数积、点积）的分配律：a·(b + c) = a·b + a·c；(a + b)·c = a·c + b·c
这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>，用投影的方法不难得到证明。
混合积的性质：定义(a×b)·c 为矢量a, b, c的混合积，容易证明：
(a×b)·c 的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
从而就推出：ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).
由i 还可以推出：iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
若一个矢量a 同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a 必为零矢量。
设r 为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用和数积分配律，就有 r·(a×(b + c)
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c) 垂直于任意一个矢量。按3) 的iv) ，这个矢量必为零矢量，即：a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有：a×(b + c) = a×b + a×c.
证毕。
我们假定已经知道了：a × b = - b × a
内积（即数积、点积）的分配律：a·(b + c) = a·b + a·c；(a + b)·c = a·c + b·c
这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>，用投影的方法不难得到证明。
混合积的性质：定义(a×b)·c 为矢量a, b, c的混合积，容易证明：
(a×b)·c 的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
从而就推出：ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).
由i 还可以推出：iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
若一个矢量a 同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a 必为零矢量。
设r 为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用和数积分配律，就有 r·(a×(b + c)
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c) 垂直于任意一个矢量。按3) 的iv) ，这个矢量必为零矢量，即：a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有：a×(b + c) = a×b + a×c.
证毕。
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追问
那要怎么证明[a×b,b×c,c×a]=[a,b,c]+[a,b,a]+[a,c,c]+[a,c,a]+[b,b,c]+[b,b,a]+[b,c,c]+[b,c,a]
追答
你把等号右边的图画出来，然后用正弦定理和余弦定理求出三边长，再和左边比较
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