行列式，怎么得的结果

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大盗朱阿三
2019-07-09 · 圣人养心，首善于静，次善于诚

大盗朱阿三

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行列式的公式书上有。像这个向量叉乘的结果，有更好记的方法。
C×r=ciei×rjej=δijkcirjek，δijk当ijk顺排（123,231,312）时为1，逆排时为-1（132,213,321）,有重复时为0。
故C×r=c2r3e1-c3r2e1+c3r1e2-c1r3e2+c1r2e3-c2r1e3

追问

...怎么得的2C

追答

没看见前面还有一个符号。
▽×(C×R)=▽1×(C×R)+▽2×(C×R)=▽1×(C×R)-▽2×(R×C)，其中▽1仅对C作用，▽2仅对R作用，然后可以直接利用A×(B×C)的公式求
A×(B×C)=(A.C)B-(A.B)C
▽1×(C×R)=(▽1.R)C-(▽1.C)R=R.▽1C-(▽1.C)R
▽2×(R×C)=(▽2.C)R-(▽2.R)C=C.▽2R-(▽2.R)C
故：▽×(C×R)=R.▽C-(▽.C)R-C.▽R+(▽.R)C
如果C为常数，▽C=0，▽.C=0
▽×(C×R)=(▽.R)C-C.▽R
▽.R=▽iei.Rjej=▽iRi=3【注：Rx=x,Ry=y,Rz=z】
▽R=▽jejRkek
C.▽R=Ciei.▽jejRkek=Ci▽iRkek
R=(x,y,z)
故▽iRk=δik
C.▽R=Ciei.▽jejRkek=Ci▽iRkek=Ciδikek=Ciei=C;
故▽×(C×R)=(▽.R)C-C.▽R=3C-C=2C。
或者直接根据C×r=c2r3e1-c3r2e1+c3r1e2-c1r3e2+c1r2e3-c2r1e3=P
P1=c2r3-c3r2，P2=c3r1-c1r3，P3=c1r2-c2r1；
▽×P=(▽2P3-▽3P2)e1+(▽3P1-▽1P3)e2+(▽1P2-▽2P1)e3
▽2P3=d(c1r2-c2r1)/dy=c1;
▽3P2=d(c3r1-c1r3)/dz=-c1；
即第一项为2c1，其余类推，最后结果为2c