Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a不等于0,a,b,c,d属于R)的一个极值点恰为坐标系原点

且y=f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-1=0（1）求函数f（x）的解析式
（2）求函数f（x）在[-2,2]上的值域

Answer 1

把(0，0)代入，得d=0

此函数导数f(x)'=3ax∧2+2bx+c

f(0)'=c

在原点为极值∴c=0

此处切线方程y+2=(3a+2b+c)(x-1)

∴3a+2b+c=-3       

当x=1  由切线方程得f(1)=-2

∴a+b+c=-2

解得a=1   b=-3  c=d=0

f(x)=x^3-3x^2

(2)f(x)'=3x∧2-6x对称轴x=1

当f(x)'=0   x1=0   x2=2

[-2，0]单增，f(-2)=-20   f(0)=0

(0，2]单减，f(2)=-4

∴值域[-20，0]