Question

在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，

在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ。
（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；
（2）在图2中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围。

Answer 1

解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，

∴BM⊥AC，AM=MC，

∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，

∴AM=MQ，∠AMQ=120°，

∴CM=MQ，∠CMQ=60°，

∴△CMQ是等边三角形，

∴∠ACQ=60°，

∴∠CDB=30°；

（2）如图2，连接PC，AD，

∵AB=BC，M是AC的中点，

∴BM⊥AC，

∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，

在△APD与△CPD中，

AD=CD

PD=PD

PA=PC 

∴△APD≌△CPD（SSS），

∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，

又∵PQ=PA，

∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠PCQ=∠PAD，

∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，

∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，

∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，

∴2∠CDB=180°-2α，

∴∠CDB=90°-α；

（3）如图1，延长BM，CQ交于点D，连接AD，

∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，

∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，

∵点P不与点B，M重合，

∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，

∵点P在线段BM上运动，∠BAD最大为2α，∠MAD最大等于α，

∴2α＞180°-2α＞α，

∴45°＜α＜60°．