Question

求解答，高中数学。

已知函数fx等于负根号三asin2x-2acos的二次方x+3a+b x属于四分之π到四分之三π是否存在常数a,b属于Q，其中Q为有理数集，使得fx的值域为负根号三到根号三减一，若存在，求出对应的a,b的值，若不存在，求出对应请说明理由

Answer 1

f(x)=-√3asin2x-2acos²x+3a+b
=-√3asin2x-a(1+cos2x)+3a+b
=-√3asin2x-acos2x+2a+b
=-2a(√3/2sin2x-1/2cos2x)+2a+b
=-2asin(2x-π/6)+2a+b
∵x∈[π/4,3π/4]
∴2x∈[π/2,3π/2]
∴2x-π/6∈[π/3,4π/3]
∴2sin(2x-π/6)∈[-√3,2]

当a>0时，
-√3a≤-2asin(2x+π/6)≤2a
(2-√3)a+b≤f(x)≤4a+b
∵f(x)值域为[-√3,√3-1]
∴(2-√3)a+b=-√3
4a+b=√3-1
（2+√3）a=2√3-1
a是无理数不符合题意

当a<0时，
2a≤-2asin(2x+π/6)≤-√a
4a+b≤f(x)≤(2-√3)a+b
∴(2-√3)a+b=√3-1
4a+b=-√3
（2+√3）a=-2√3+1
a是无理数不符合题意