Question

求下列各函数的值域： y=x²+x+1/x²+x+2

Answer 1

解：原题应该是 y=（x²+x+1）/（x²+x+2
）
通过分子添项、去项和分母配方有
原式＝[（x²+x+2）-1]/（x²+x+2）
＝1-1/（x²+x+2）
＝1-1/[（x+1/2）2 +4/9]

y∈[5/9,1）

Answer 2

解：∵x²+x+2=[x+(1/2)]²+7/4≧7/4，∴y=x²+x+1/x²+x+2的定义域为R。
则1/(x²+x+2)=1/{[x+(1/2)]²+7/4}≦1/(7/4)=4/7。∴﹣1/(x²+x+2)≧﹣4/7，
∴1﹣1/(x²+x+2)≧1﹣4/7=3/7。从而(x²+x+1)/(x²+x+2)≧3/7 。
又∵在R上x²+x+1﹥0，x²+x+2﹥0。∴x²+x+1﹤x²+x+2。∴(x²+x+1)/(x²+x+2)﹤1
∴y=(x²+x+1)/(x²+x+2)的值域为 [3/7，1)。