Question

求解高数题

求解常系数线性微分方程，谢谢大噶

Answer 1

求线性微分方程 y''+y'-2y=2x 满足初始条件 y(0)=-0.5；y'(0)=5的特解；
解：齐次方程 y''+y'-2y=0的特征方程 r²+r-2=(r+2)(r-1)=0的根 r₁=-2；r₂=1；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-2x)+c₂e^x；
设其特解 y*=ax+b；则y*'=a；y''=0；代入原式得：
a-2(ax+b)=-2ax+a-2b=2x；故-2a=2, 即a=-1，a-2b=0，即b=a/2=-1/2
∴ y*=-x-1/2；故通解为：y=c₁e^(-2x)+c₂e^x-x-(1/2);
代入初始条件 y(0)=-1/2，得 c₁+c₂-1/2=-1/2，即有 c₁+c₂=0............①
对通解取导数得：y'=-2c₁e^(-2x)+c₂e^x；
代入初始条件 y'(0)=5，得 -2c₁+c₂=5............②
①②联立解得：c₁=-5/3；c₂=5/3；
故满足初始条件的特解为：y=-(5/3)e^(-2x)+(5/3)e^x-x-(1/2);