Question

高数极限问题！

{(1+1/n)/[1+1/(n+1)]}的n次方，n趋近于正无穷。。
求以上极限！！
极限是0还是1？？？
请大家帮我挑错！(1+1/n)和（1+1/(n+1)）永远不相等，这两个式子的比值永远小于1，，而一个小于1的数字，在经过n次方（n趋近于无穷），最终极限是0。。。。
这种题需要从整体看，不能(1+1/n)的n次方是e，
（1+1/(n+1)）的n次方经过简单化简也是e，所以e除以e等于1。。。。
我认为第二种方法是错的，因为他把分式的极限分离开。

Answer 1

首先 答案是1
第一种方法:错误
你的这句话:"而一个小于1的数字，在经过n次方（n趋近于无穷），最终极限是0"
与本题情况不同 本题中 被n次方的不是一个常数(即定值) 而是一个随着n的变化而变化的变量
如果按照你的逻辑 那么(1-1/n)^n 当n趋于无穷大的极限岂不也是0吗
第二种方法:正确
根据是极限的四则运算

追问

(1-1/n)^n 当n趋于无穷大的极限岂不也是0吗
这个例子举得好好啊！你这个例子让我知道自己是错了。。
但是我感觉正是因为那个分式是变量，分式的无穷的方才不能拆开看啊，如果分子无穷次方，再比上分母无穷次方，那才是改变了题意啊。。。
那个分式是永远小于1的，所以小于1的数字，经过无穷次方后极限才是0

Answer 2

解：答：我觉得极限是1。
先算底数的极限，分母和分子的极限都是1，根据极限的四则运算，底数的极限是1，
所以{(1+1/n)/[1+1/(n+1)]}的n次方，n趋近于正无穷的极限是1。

追问

老大，如果分着算的话，分子和分母极限都是e。。
你这种方法我也知道，我问的是我求0的方法哪里出错了

追答

我觉得可以这么做，根据极限的四则运算。

Answer 3

解：lim(n趋于无穷){(1+1/n)/[1+1/(n+1)]}^n
=lim(1+1/n)^n lim[1+1/(n+1)]/lim[1+1/(n+1)]^(n+1)
=e/e
=1

记住求极限时 如果极限分开后 极限仍存在则可以分开 反之 如果分开后 有极限不存在的 则不能分开
另外(1+1/n)和（1+1/(n+1)）这两个式子的比值大于1的

追问

终于让您说中了！太谢谢您了！我寝室咋都没发现这个毛病啊。。。
多谢赐教！

追答

你得出的0答案的作法 才是真正的 分开求的
比如lim(n趋于0)(1+1/n)^n=e 这肯定没错吧

但按你的想法 因为 (1+1/n)恒大于1 那么一个大于1的数的n次方 岂不是应该无穷大吗

Answer 4

不是这么做这道题的，是用重要极限做的

追问

谢谢，我知道用重要极限做，也会做，就是不明白第一种考虑方式哪里出错了

追答

你据算错了 下面那部分是大于1的。。。。